Przez niemal 200 lat równania wielomianowe wyższego stopnia pozostawały nierozwiązanym problemem algebry, którego nie udało się rozgryźć nawet najwybitniejszym matematykom. Teraz, dzięki pracy prof. Normana Wildbergera z University of New South Wales (UNSW) i informatyka Deana Rubine’a, świat nauki staje przed przełomem, który może zrewolucjonizować nie tylko matematykę teoretyczną, ale również informatykę, biologię czy inżynierię.
Wielomiany, które opierały się przez stulecia
Wielomiany to równania, w których zmienne (np. x) występują w różnych potęgach. Równania pierwszego, drugiego czy trzeciego stopnia zostały rozwiązane już w czasach nowożytnych. Jednak od wieków matematycy nie potrafili znaleźć ogólnego rozwiązania dla równań piątego stopnia i wyższych. Uważano, że takie rozwiązania po prostu nie istnieją – można je jedynie przybliżać za pomocą metod numerycznych.
Rewolucja za pomocą geometrii i kombinatoryki
Zamiast podążać tradycyjną drogą wykorzystującą pierwiastki i funkcje algebraiczne, Wildberger i Rubine sięgnęli po… geometrię wielokątów i liczby katalońskie – matematyczne ciągi wykorzystywane m.in. do liczenia możliwych sposobów podziału wielokąta na trójkąty.
Rozszerzając klasyczne liczby Catalana na bardziej złożone kształty i struktury geometryczne, naukowcy byli w stanie przekształcić złożone równania wielomianowe w możliwe do rozwiązania modele kombinatoryczne.
Jak twierdzi Wildberger:
„To dramatyczna rewizja podstawowego rozdziału algebry. Nasze rozwiązanie otwiera na nowo zamkniętą wcześniej księgę historii matematyki”.
Narodziny nowej struktury – Geoda
W toku badań zespół odkrył zupełnie nową strukturę matematyczną, którą nazwano Geode. Ta abstrakcyjna forma łączy geometrię z algebrą i wydaje się stanowić fundament do dalszego rozwoju rozwiązań w zakresie wyższych równań i algorytmów matematycznych.
Nowa teoria została zweryfikowana na słynnych przypadkach historycznych, w tym na równaniu sześciennym badanym przez Johna Wallisa. Wyniki eksperymentów i obliczeń jednoznacznie potwierdziły trafność podejścia Wildbergera i Rubine’a.
Zastosowania sięgające daleko poza matematykę
Chociaż badanie skupia się na algebrze, jego potencjalne zastosowania są niezwykle szerokie – od informatyki i teorii gier, przez kodowanie danych i sztuczną inteligencję, aż po modelowanie biologiczne, takie jak badanie fałdowania cząsteczek RNA czy struktur białkowych.
Według Wildbergera:
„To podstawowe obliczenia w dużej mierze z zakresu matematyki stosowanej, co stwarza okazję do udoskonalenia algorytmów w wielu dziedzinach”.
Początek nowej ery w matematyce?
Odkrycie otwiera drzwi do dalszych badań nad strukturą równań i możliwości ich pełnego rozwiązania – bez konieczności opierania się jedynie na metodach przybliżonych. To krok ku zrozumieniu algebry na głębszym poziomie, niż dotychczas sądziliśmy.
W czasach, gdy wiele przełomowych odkryć opiera się na współpracy interdyscyplinarnej, podejście łączące geometrię, kombinatorykę i informatykę może stać się nowym standardem w matematyce przyszłości.
Wyniki badań opublikowano w czasopiśmie The American Mathematical Monthly .